Chuỗi được phân loại không chỉ theo chúng hội tụ hay phân kỳ: chúng còn được phân biệt dựa vào các tính chất của các biểu thức an (hội tụ tuyệt đối hay có hội tụ có điều kiện); kiểu hội tụ của chuỗi (theo điểm hay đều); dạng của biểu thức an (số thực, cấp số, hàm lượng giác); vân vân.

Hội tụ tuyệt đối

Một chuỗi

∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của các biểu thức của nó

∑ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}

hội tụ. Có thể chứng minh rằng điều kiện này là đủ để không chỉ chuỗi gốc hội tụ về một giới hạn, mà cả các chuỗi tạo ra bằng cách sắp xếp lại các biểu thức của chuỗi gốc cũng hội tụ về cùng giới hạn đó.

Hội tụ có điều kiện

Một chuỗi số thực hoặc số phức được gọi là hội tụ có điều kiện (hoặc hội tụ bán phần) nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Một ví dụ nổi tiếng là chuỗi đan dấu

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots }

Chuỗi này hội tụ (có tổng các biểu thức đúng bằng ln 2), nhưng chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức của chuỗi này lại là chuỗi phân kỳ (xem chuỗi điều hòa). Định lý chuỗi Riemann nói rằng bất cứ chuỗi nào hội tụ có điều kiện đều có thể được sắp xếp lại để trở thành một chuỗi phân kỳ, hơn nữa, nếu an là số thực thì ta có thể tìm được một cách sắp xếp sao cho chuỗi mới hội tụ và có tổng bằng bất kỳ số thực S nào.

Kiểm tra Abel là một công cụ quan trọng để xử lý chuỗi hội tụ bán phần. Nếu một chuỗi có dạng

∑ a n = ∑ λ n b n {\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}

trong đó các tổng riêng BN = b0 + ··· + bn bị chặn, λn biến thiên bị chặn, và lim λnBn tồn tại:

sup N | ∑ n = 0 N b n | < ∞ ,     ∑ | λ n + 1 − λ n | < ∞   va   λ n B n   hoi tu, {\displaystyle \sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{va}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{hoi tu,}}}

thì chuỗi ∑an hội tụ. Điều này áp dụng cho hội tụ pointwise của nhiều chuỗi lượng giác, như

∑ n = 2 ∞ sin ⁡ ( n x ) ln ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}

với 0 < x < 2π. Phương pháp của Abel consists in writing bn+1 = Bn+1 − Bn, và in performing một phép biến đổi tương tự với integration by parts (gọi là summation by parts), that relates the given series ∑an to the absolutely convergent series

∑ ( λ n − λ n + 1 ) B n . {\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.}